משלים לחיים שמסתתרים בעקרונות מתמטיים

היישום של עקרונות מתמטיים נמצא לרוב עמוק בשדה המדעי, אבל לחוקי המספרים אין הסכם בלעדיות עם תחום זה או אחר. הלוגיקה שלהם יכולה לשקף גם תופעות רכות, כמו האנושיות שלנו, או היחס שלנו לאירועים בחיינו. מה מלמד אותנו ערך מוחלט על מוסר, מדוע פרבולה יכולה לעזור בפיתוח חוסן, וכיצד אסימפטוטה מסייעת בקבלת המציאות?

אין תלמיד שבשלב מסוים ב-12 שנות הלימודים שלו לא תהה באיזה תרחיש הזוי בחיים הוא יצטרך להשתמש בהיפרבולות, בקוסינוס או במשוואה ריבועית עם שני נעלמים. ממרומי גילנו אנו יודעים שבמקצועות מסוימים הכלים הללו חשובים מאוד, אבל ביומיום?

ובכל זאת, כשעוברים לחשוב על חוקי המתמטיקה כעל סט של עקרונות מארגנים במקום התפיסה המקובלת, דהיינו טכניקות לפתרון בעיות, נראה כי פתאום צפה התועלת האבודה שלה לחיים. הוכחה מתמטית של הטענה תיראה בערך כך: מתמטיקה היא שפה תיאורית לכלל התופעות במציאות; בני אדם הם תופעה במציאות; מכך נובע – התנהגותם של מספרים משקפת התנהגות של בני אדם.

אנחנו כמובן לא עוסקים פה בדיגיטציה של החיים האנושיים וגם לא במספרים עצמם. מה שאנו מנסים לחלץ מעולם המספרים הוא דפוסים בעלי מכנה משותף לדפוסים שבהם אנו חושבים על העולם או פועלים בתוכו.

1. עקרון הערך המוחלט – המציאות אדישה לטוב ורע

ערך מוחלט מבטא מרחק מאפס, ללא תלות בסימן חיובי או שלילי. כשהם בערך מוחלט, 5 ומינוס 5 שווים. אין משמעות לכיוון הדרך שאליה יצאנו, אלא אך ורק למספר הצעדים שעשינו מנקודת ההתחלה.

בהקשר רחב, כשמדברים על ערך מוחלט מתבטל שיפוט של טוב או רע, יפה או מכוער וכן הלאה. הדבר היחיד שמשנה הוא הגודל.

קחו למשל את הנושא של אושר והיעדרו. האפשרויות להשגת אושר רבות היום מאי פעם. לצד זאת, האדם בן ימינו חשוף לאכזבות כפי שלא היה לכל אורך ההיסטוריה. מתמטית, הסיבה לכך היא שמבחינת המציאות גורמי ה'אושר' נמצאים בערך מוחלט. העולם הפך פתוח ונגיש יותר, וכתוצאה מכך גדל מספר החוויות האפשריות עבור האדם הממוצע באופן אובייקטיבי, כלומר התרחק עוד יותר מאפס. אבל כבני אדם אנחנו 'מסמנים' מינוס או פלוס לצד כל אירוע, כתלות בחוויה הסובייקטיבית שלנו. לכן העלייה שאנו חווים באושר ובאכזבה היא דומה ומתרחשת בערך מוחלט.

כמובן שבמקרים רבים אין לנו שליטה על כך, זה הטרייד-אוף המכונן של להיות אנושי. ואולם, בבעיות הפחות חריפות בחיינו, הניסיון להציב אירועים בערך מוחלט יכול לפתח בנו מידה של חוסן סטואי, ואף לחדד את הראייה האובייקטיבית שלנו. כך למשל, מחקרים הראו כי נטיית אופי שממצבת אדם כמושך בתחילת קשר, עלולה להפוך למקור דחייה בהמשכו. התכונה הזו קיימת בו בערך מוחלט, אבל בן הזוג משנה את היחס כלפיה כתלות בזמן, שינוי במערכת היחסים וכן הלאה. ההבנה הזו עוזרת להתאים את עצמנו מחדש לסיטואציה ואולי אף לסייע בפתרון קונפליקטים.

לצד זה, הצבה בערך מוחלט מסייעת להסביר התנהגויות לכאורה סותרות. כשמסירים שיפוט מהפעולות או מהמילים של אדם, עשויה להתבהר תכונת אופי שעומדת בשורש הדברים. ייתכן שהוא מעולה עם אנשים בתחום המקצועי, אבל מנוכר מאוד מבחינה חברתית. אם ניישם עליו את העיקרון המתמטי, נגלה שהדרייב מאחורי האינטראקציות שלו עם אנשים הוא תחרות. הסתירה בין המינוס והפלוס בהתנהגותו מתפוגגת כשמבינים שלא אנשים הם הערך המספרי, אלא מידת ההצלחה העסקית/מקצועית שלו, כפי שהוא תופס אותה. מבחינתו אינטראקציות עם אנשים נמדדות על בסיס תרומתן לקידומו, ותו לא.

הערך המוחלט במקרה זה מסייע להגיע לתובנה חדשה, לגילוי ממד נוסף של התופעה. וכתוצאה אנו יכולים להיות פחות מוטרדים מהתנהגות כזו ברמה האישית, ואף למנף אותה לתועלתנו. הצבת אנשים בערך מוחלט עוזרת להבין את הדחפים, המניעים והצרכים האמיתיים שלהם. לטוב ולרע.

2. אסימפטוטה – יש דברים שתמיד יישארו מחוץ להישג יד

במערכת צירים אסימפטוטה היא קו שנמצא תמיד בשאיפה להשקה עם גרף הפונקציה, אבל לעולם לא ייגע בו. הוא ימשיך ויתקרב אליו עד אינסוף מבלי להשלים את החבירה. במילים אחרות, המרחק בין שני הקווים על מערכת הצירים שואף לאפס. הפער ממשיך להצטמצם אבל לעולם לא יכוסה סופית.

העיקרון הזה הוא אלגוריה לשפע תופעות בחיים האנושיים, אבל התופעה האולטימטיבית שמסמלת האסימפטוטה היא אולי המרדף אחרי האושר.

הביולוגיה שלנו מתוכננת לשמור את האושר תמיד במרחק נגיעה. קרדיט: mayalis / shutterstock

השאיפה להיות מאושרים נחשבת יחסית חדשה בהיסטוריה האנושית, כשעד למהפכה התעשייתית אנשים מצאו משמעות בעיקר במבנים חברתיים. לאחר מכן, עם התפוצצות תרבות הצריכה פרח הקונספט של אושר, אבל כעבור עשרות שנים בלבד החלו להבין שאושר הוא תחושה זמנית וברת חלוף, להבדיל מסטטוס סופי שניתן להגיע אליו ולשהות בו.

המרדף אחר האושר גורם לנו להרגיש שאנחנו תמיד במגמה לכיוון היעד. כל פעם נוסף מרכיב שאם רק נשים עליו את הידיים נהיה קרובים יותר. אבל המרדף עקר. למעשה, אנחנו מנועים ביולוגית מאחיזה באושר. כפי שמסבירה ב-Independent פרופסור לפסיכולוגיה הלן דריסקול מאוניברסיטת סנדרלנד, הטבע האנושי התפתח כדי להיות תמיד מרחק נגיעה מאושר כדי לשמר את המוטיבציה שלנו. לדבריה, המנגנון הפסיכולוגי של סיפוק גורם לתחושת האושר לחזור תמיד למצב מאוזן כדי שנמשיך להיות מונעים להישגים. וכך, כמו אסימפטוטה, אנו יכולים להמשיך לאינסוף. אפילו לחוש את עצמנו נושפים בעורפו של האושר, אך תמיד הוא מחוץ להישג יד. החיים שלנו לא יכולים להתלכד עם אושר, משום שלעולם יהיה משהו נוסף שיחצוץ בינינו. מסיבה זו השיח בתחום החל להשתנות מחיפוש אחר אושר חזרה לחיפוש אחר משמעות.

3. חוק המספרים הגדולים – בטווח הרחוק החיים שואפים לאיזון

אחד העקרונות הבסיסיים בענף הסטטיסטיקה הוא שככל שחוזרים על אירוע הסתברותי כלשהו, כך גדל הסיכוי שהתוצאה המצטברת שלו תשאף לממוצע.

הדוגמה המוכרת ביותר היא הטלת מטבע. הסיכוי לקבלת עץ או פאלי הוא 50% לכל צד עבור הטלה בודדת. אבל זה לא אומר שאם יצא לנו פאלי, בהטלה הבאה נקבל בהכרח עץ. חוק המספרים הגדולים לא מתייחס לאירוע בודד, אלא כשמו, לתוצאה הממוצעת הצפויה עבור מספר גדול מאוד של אירועים.

אחת המשמעויות שאפשר לחלץ מהחוק היא אימוץ פרספקטיבה רחבה על החיים. קל מאוד להישאב לשמחה או לעצב בעקבות הצלחה או כישלון, אבל חוק המספרים הגדולים מלמד אותנו שבטווח הרחוק הדברים מתאזנים – כולם נכשלים ומצליחים פחות או יותר באותה מידה.

האם פירושו של דבר שאין לנו דרך להשפיע על הצלחה? לא מדויק. החוק לא מדבר על ממוצע אבסולוטי, אלא על תוצאה צפויה, כלומר ערך שאנו מצפים לקבל בעקבות פעולה. במקרה של הטלת מטבע מדובר ב-50%, אבל אם למשל אנחנו מוכרים מוצר או שירות ופועלים על פי שיטה שהוכחה בעבר כיעילה, התוצאה הצפויה של אירוע מכירה היא הצלחה. במקרה הזה ככל שנעלה את כמות ה'אירועים', כלומר ניסיונות מכירה, כך במצטבר עולה הסיכוי שהממוצע שלנו יהיה הצלחה במכירה.

הסופר והמרצה בנושאי הרגלים ושיפור אישי ג'יימס קליר מספר על ניסוי שערך פרופסור מאוניברסיטת פלורידה בסטודנטים בקורס צילום. הוא חילק את הכיתה לשניים: חצי יימדדו בסוף הקורס בהתאם לכמות התמונות שצילמו, והחצי האחר יימדדו על איכות של צילום יחיד. המרצה הופתע לגלות בסוף הקורס כי הצילומים הטובים ביותר יצאו מהקבוצה שנמדדה על כמות הצילומים. קליר מסביר כי הסיבה לכך הייתה שהכמות סיפקה להם הרבה הזדמנויות ללמידה ולהתנסות. בקבוצת האיכות הסטודנטים עסקו בעיקר בשאלה מהי תמונה מושלמת בניסיון לייצר אותה. כלל הסטודנטים כיוונו לתמונה מצוינת, אבל אלה שחוק המספרים הגדולים עמד לצידם היו מי שהגיעו בסופו של דבר לתוצאה הרצויה.

אם כן, על פי חוק המספרים הגדולים פרואקטיביות מבטיחה את התוצאה הרצויה במידה ושומרים על עקביות. ההרגלים שלנו בסוף מתכנסים למה שמצופה מהם, לחיוב ולשלילה. ולכן אירוע בודד לא צריך להטריד או לטלטל אותנו יותר מדי, לחיוב או לשלילה, אלה דפוסי ההתנהגות שלנו שצריכים להיות במוקד תשומת ליבנו.

4. וקטורים – לדברים בחיים יש גודל וכיוון

הביטוי המתמטי של כוחות פיזיקליים מסומן בווקטור. זהו שימוש במערכת הצירים לתיאור רכיבים הפועלים יחד: גודל וכיוון. אחת הדוגמאות הפשוטות היא נסיעה. וקטור לא יאמר לנו רק שהרכב נמצא במהירות 60 קמ"ש, אלא גם יספר לנו שהוא מתקדם צפונה.

בהשאלה, וקטור מסמל מגמה. החיים שלנו מלאי וקטורים, אבל לא תמיד אנחנו מסתכלים עליהם ככאלה, ובאופן ספציפי אנחנו לא בוחנים תופעות במונחים של גודל וכיוון.

לשילוב בין השניים יש משמעות עצומה, כיוון שאם בוחנים רק את הכיוון של המגמה, אנחנו מפספסים את עוצמת ההשלכות שעשויות להיות לה; ואם אנחנו בודקים רק את הגודל של אירועים, אנחנו עלולים לפספס את האופן שבו יבואו לידי ביטוי ההשלכות.

השילוב של כיוון ועוצמה קריטי כדי לחזות את היעד. צילום: Mariusz Bugno / shutterstock

בגיאופוליטיקה, למשל, מאוד משתלם לחפש וקטורים בהתנהלות של מדינות או גופים. הם עוזרים לחשוף את האסטרטגיות של שחקנים, וכן את מידת ההצלחה שלהם. רטוריקה מתלהמת מצד מנהיג כלשהו (גודל), כלפי מדינה ספציפית (כיוון), מצביעה על תכנון מוקדם לשם השגת מטרת קצה כלשהי. על פי מאמר ב-The Conversation למשל, כשנשיא טורקיה ארדואן מעלה את הטמפרטורה של נאומיו ביחס לישראל, הוא מכוון לקהל הבוחרים המקומי שלו, וכנראה גם לקהל רחב יותר בסביבה. ואולם וקטור יחסי המסחר וההסכמים המדיניים משקף תמונה מתונה יותר, שם הכיוון שלילי, אבל העוצמה נמוכה משמעותית ביחס להתבטאויות. זה מצביע על שאיפה לעוצמה אזורית, אך במקביל על מידה של פרגמטיזם.

ניתן למצוא וקטורים סביבנו גם ברמה היומיומית. אלה הם כוחות שפועלים עלינו, או דפוסים שבהם אנו פועלים. למשל, כשארגונים מריצים קמפיינים תקשורתיים, פתאום הקהל חווה עלייה בחשיפה למידע מסוים – זהו הגודל, ואילו התוכן הספציפי של המידע הוא הכיוון שאליו מנסים לדחוף את הקהל.

או קחו אדם שמזמין דברים באינטרנט. בחינת הגודל והכיוון יכולים לספר לנו האם מדובר בהתנהגות נורמטיבית, או שהוא בווקטור של התמכרות. למשל, אם תדירות ההזמנה היא פעמיים ביום, והכיוון הוא 'מכל הבא ליד', אפשר להסיק כי אין מדובר בקנייה פונקציונלית, אלא ברכישה לצורך ריגוש, נניח. לעומת זאת אדם שמצטייד בתדירות גבוהה במוצרים מאותו תחום, אפשר להניח שהוא בווקטור של רכישת תחביב.

ראייה 'וקטוריאלית', אם כן, עשויה לסייע לנו בהבנה וחיזוי של תופעות, מגמות והתנהגות של אנשים, ארגונים ומערכות.

5. משוואת גלים – התפשטות מתרחשת בעליות וירידות

תנועות רבות בטבע מתקיימות בתצורה של גל. אבן שתושלך לאגם תייצר אדוות ולא דחיפה ישרה של מסת מים. באותו דפוס מתרחשות גם ויברציות של אוויר, תופעה שאנו מכנים 'קול', וכן קרינה אלקטרומגנטית, אור וכן הלאה. משוואת גלים היא התיאור המתמטי של תנועות התפשטות אלה. לכל גל יש גודל, תדירות, כיוון וערכים מספריים נוספים המשקפים את דפוס ההתקדמות הייחודי לו. אבל מה שמשותף לכל הגלים הוא שכולם מתנהלים בעליות וירידות לסירוגין.

"לעיתים קרובות בחיים, אנו מפעילים את כל הבוכנות", כותבת אולגה קזאן ב-The Atlantic, "אבל כל אחד מאיתנו, בקביעות, עובר גם עונות איטיות יותר". היא מצטטת את הסופרת קת'רין מאי, שטוענת כי "למרות שאנו נוטים לקוות שהחיים יהיו 'שיא העונה תמידי וללא שינוי', בתדירות גבוהה תבוא תקופת שפל בחיים". ואולם, היא ממשיכה, "הסתכלות לאורך מכלול חייכם, הפסגות והעמקים של עבודה, משפחה ודאגה לעצמנו מתאזנים".

אם ניקח משוואת גל ונחתוך חלק אחד ממנה, נימצא באחד מארבעה מצבים: עלייה, ירידה, שיא או שפל. כשעושים זום אאוט, לעומת זאת, מתגלה מגמה עם שינויים. פונקציית הגל, באותה מידה שהיא מתארת תופעות פיזיקליות, ממחישה היטב תנועה בחיים האנושיים. כשאנו נעים בכיוון מסוים, תמיד זה יהיה בתצורת גל, השאלה היא רק באיזו רזולוציה אנו מביטים.

אם זה בקריירה, במערכות יחסים ואפילו סתם בתחושה הכללית, כשאנחנו נעים בין שיא לשפל זה סימן שאנחנו בהתקדמות. לא משנה כרגע לאן אנו מתקדמים, מה שרלוונטי הוא הדינמיות. לעומת זאת, כשנדמה שאנחנו תקועים תמיד באותו מצב, אנחנו כנראה יותר סטטיים.

משוואת גלים מאותתת לנו שתמיד יהיו עליות וירידות, אבל היא גם שולחת אותנו לנתח את הפונקציה – לבדוק באיזו תדירות אנו עוברים בין שיא לשפל, מה גובה הנקודות על הגרף ומה המרחק ביניהן.

תמונת כותרת: agsandrew / shutterstock

כתבות נוספות שעשויות לעניין אותך:

גלגולה של קובייה – מה יש בצורה הזו שמדענים מחפשים בה את סודות היקום?

הגאון שחווה התגלויות מתמטיות ועד היום איש לא יודע להסביר כיצד

מה הסיכוי שנולדתם בדיוק מי שאתם? חישוב מתמטי יותיר אתכם פעורי פה

עוד מרדיו מהות החיים:

המתמטיקה כשפת התודעה